Математические основы функционального программирования
Сформулированная Джоном Мак-Каpти (1958) концепция символьной обработки информации компьютером восходит к идеям Черча и других математиков, известным как лямбда-исчисление с конца 20-х годов прошлого века. Выбирая лямбда-исчисление как теоретическую модель, Мак-Карти предложил рассматривать функции как общее базовое понятие, к которому достаточно естественно могут быть сведены все другие понятия, возникающие при программировании [1].
Такое сведение вовсе не означает, что все понятия сваливаются в одну кучу, что исчезают границы между понятиями. Сведение выполнено так, что при сохранении всех понятийных границ выстроено более общее пространство, в рамках которого эти понятия упорядочены и могут взаимодействовать согласно формальным определениям.
Управление обработкой информации в лямбда-исчислении осуществляется в рамках иерархии свободных и связанных переменных, реализуемых с помощью таблицы соответствия символов и их толкования. Обработка представляется посредством интерпретации выражений, построенных из всюду определенных функций, аргументы которых упорядочены. Общностью такое построение сравнимо с аксиоматической теорией множеств.
Понятие "функция" связано с понятиями аргумента функции, области ее существования и значения, соответствия между ее аргументами и результатами, а также применения функции к ее аргументам. Существуют различные точки зрения на природу всех этих терминов, на границы определяющих их множеств, на возможность их взаимодействия в более общих построениях. Наиболее явные разночтения, связанные с трактовкой однозначности результата функции, могут быть устранены при рассмотрении структурных значений. Например, два разных значения при извлечении квадратного корня можно рассматривать как один результат из двух элементов. Еще более естественна такая точка зрения на однозначность результата для целочисленного деления: cуществует общая функция, которая выполняет деление одного целого числа на другое и вырабатывает результат, содержащий два элемента — частное и остаток от деления.
Кроме того, имеется две частных функции, каждая из которых выбирает из этого результата тот элемент, который нужен для объемлющей формулы. Не менее серьезная трудность связана с границами множеств разносортных объектов, таких как скаляры, структуры, представления функций. Функциональное программирование поддерживает универсальные методы обработки разносортных объектов.
Изучение функционального программирования начинается с овладения техникой работы с так называемыми "чистыми", строго математическими, идеальными функциями. Для реализации функций характерен отказ от необоснованного использования присваиваний и низкоуровневого управления вычислениями в терминах передачи управления. Такие функции удобны при отладке и тестировании благодаря независимости от контекста описания и предпочтения явно выделенного чистого результата. Трудоемкость отладки композиций из хорошо определенных функций растет аддитивно, а не мультипликативно. Кроме того, системы из таких функций могут развиваться в любом направлении: сверху вниз и снизу вверх (а также расширяясь и сужаясь, если понадобится) [23]. Можно быстро продвинуться по сложности решаемой задачи, не отвлекаясь на синтаксическое разнообразие и коллизии при обработке общих данных. Концептуально близкие идеи "структурированного программирования" были сформулированы лишь более чем через десять лет.
Особенно интересны рекурсивные функции и методы их реализации в системах программирования. Интуитивное понятие функции, в отличие от классического понятия множества, отчасти содержит концепцию времени: сначала аргументы вычисляются в порядке вхождения, затем в соответствии с заданным алгоритмом строится значение функции — ее результат, возможно, явно зависящий от результатов других функций или от этой же функции, но при других, ранее вычисленных, значениях аргументов. Обычно подразумевается, что значения аргументов вычисляются до того как к ним применяется функция. Но если в качестве данных допускать не только значения, но и символьные формы для вычисления этих значений, то вопрос о времени вычисления аргументов можно решать не столь категорично.
Кроме обычных функций, аргументы которых вычисляются предварительно, в ряде случаев можно рассматривать и реализовывать специальные функции, способные обрабатывать аргументы нестандартным способом по любой заданной схеме. Такое развитие понятия функции напоминает развитие понятия числа по мере расширения класса удобных формул над числами. (В этом отношении показательна аналогия с историей математики. Эволюция понятия числа содержит много резких обобщений с сохранением основных алгебраических свойств базовых операций и удобства работы с формулами. Так, от натуральных чисел перешли к отрицательным, ввели ноль, дробные, вещественные, иррациональные, комплексные и т.д.)
Далее понятие "функция" обогащается представлением о псевдо-функциях, используемых с целью представления аппаратных, зависимых от устройств действий (ввод/вывод, сообщения, рисование и т.п.), фактически осуществляющих известный побочный эффект в результате работы конкретного оборудования. Но формально все псевдо-функции обязательно выполняют и отображение аргументов в результаты, что позволяет им равноправно участвовать в любой позиции формулы, задающей вычислительный процесс. Формальный результат сопровождается дополнительными эффектами. Этот переход обеспечивает при необходимости корректное моделирование всей традиционной программотехники, включая присваивания, передачи управления, системные вызовы, обработку файлов и доступ к любым устройствам. Но все эти непредсказуемо сложные машинно-зависимые реалии при функциональном стиле программирования локализованы, наращиваются на ранее отлаженный каркас функционирования программы, их представления могут быть четко отделены от сущности решаемой задачи. Исследовательская и проектная работа обычно проходит фазу поиска оптимального решения. Функциональное программирование для поддержки этой фазы предлагает еще одно отступление от чистых функций: в качестве результата функции допускаются варианты значений, равноправно выбираемые из конечного множества значений, подобно псевдослучайным числам.
Равноправие не распространяется лишь на тупиковую ситуацию, когда ни один предложенный вариант не может быть вычислен. Именно эта идея составляет одну из привлекательных особенностей логического программирования, выделившегося в самостоятельную парадигму.
Императивная организация вычислений по принципу немедленного и обязательного выполнения каждой очередной команды не всегда эффективна. Существует много неимперативных моделей управления процессами, позволяющих прерывать и откладывать процессы, а потом восстанавливать их и запускать или отменять. Организация такого управления, достаточного для оптимизации и программирования параллельных процессов, реализуется с помощью так называемых "замедленных" или "ленивых" вычислений (lazy evaluation) . Основная идея таких вычислений заключается в сведении вызовов функций к представлению рецептов их вычисления в определенном контексте. Вычисляться каждый такой рецепт может не более чем один раз и то если его результат действительно нужен.
Здание функционального программирования получает логическое завершение на уровне определения функций высших порядков, удобных для синтаксически управляемого конструирования программ на основе спецификаций, типов данных, визуальных диаграмм, формул и т.п. Функциональные программы могут играть роль спецификации обычных итеративно-императивных программ. Иногда такой переход не вызывает затруднений. Факториал можно определить рекурсивно как сведение к значению функционала от предыдущего числа, но столь же понятно и определение в виде цикла от одного до N. На языке Sisal [11]
и цикла для этого не требуется, достаточно задать границы области, элементы которой перемножаются (* 1, ,N). Конечно, числа Фибоначчи легко порождать с помощью рекурсивного восходящего процесса, но и цикл с заданной границей заработает вполне практично. Однако бывают несложные задачи, для которых такой переход не столь прост. Вовсе не любая обработка произвольной последовательности легко излагается в терминах векторов, и многие задачи на больших графах могут весьма сложно приводиться к итеративной форме.
Заметные трудности в процесс сведения рекурсии к итерации создает динамика данных и конструируемые функции. Даже реализация равенства для произвольных структур данных при неизвестной размерности и числе элементов — дело непростое. Известно, что лаконичность рекурсии может скрывать нелегкий путь. А.П.Ершов в предисловии к книге П.Хендерсона [3] привел поучительный пример не поддавшегося А.Чёрчу решения задачи о рекурсивной формуле, сводящей вычитание единицы из натурального числа к прибавлению единицы {1 –1 = 0 | ( n +1 ) -1 = n}, полученного С.Клини лишь в 1932 году:
n–1 = F (n, 0, 0)
где
F (x, y, z) = если (x = 1) то 0 иначе если ((y +1) = x) то z иначе F (x, y +1, z +1)
Решение получилось через введение формально усложненной функции F со вспомогательными аргументами, что противоречит интуитивному стремлению к монотонности и движению от простого к сложному. Универсальность понятия "функция" и разнообразие видов его применения позволяет унифицировать используемые при описании процессов понятия "действие", "значение", "формула", "переменная", "выбор варианта" и пр. Все это — разные категории функций с различными формами унифицированного представления (записи, изображения) в тексте программы и правилами интерпретации (выполнения, вычисления), обеспечивающими получение результата функции при исполнении программы. Аргументами функции могут быть готовые данные или результаты других функций. Возможны ограничения на типы данных, допускаемых в качестве аргументов — тогда речь идет о частичных функциях. Такие функции должны выяснять допустимость фактических параметров и сообщать о несоответствии. Удобно, если часть такой работы берет на себя компилятор в классической традиции статического контроля правильности типов данных,но динамический контроль типов данных в условиях, характерных для современных информационных сетей, может быть надежнее, чем традиционный статический анализ, сложившийся для замкнутых, защищенных от несанкционированного доступа конфигураций, обеспечивающий гарантии сохранения скомпилированного кода программы при его использовании. (Имеется в виду вероятность искажения скомпилированного кода при его эксплуатации на компьютере в сетях.) Это приводит к компромиссу в виде объектно-ориентированного программирования, допускающего динамический контроль типов данных.
